CONTENIDO
1. Introducción
2. Definición de métodos numéricos
Aproximación y errores
Exactitud
Precisión
Incertidumbre
Serie de Taylor
Sesgo
Sesgo
Cifras Significativas
Notación científica
3. Conceptos básicos
Algoritmos
Aproximaciones
4. Tipos de errores
Error
Error error de redondeo
Error de truncamiento
Errores absoluto
Error relativo
Error relativo
5. Convergencia
6. Sofware de Métodos NuméricosOctave
Integralab
Patran
Maxima
Comsol Multiphysics
7. Conclusión
Bibliografía
1. INTRODUCCIÓN
Los métodos numéricos, en contraposición a los analíticos, se emplean para hallar soluciones aproximadas. Esa es la diferencia clave. Se usan en los casos que no resultan prácticos o posibles hallar una solución analítica, como por ejemplo para resolver una integral de la que no existe o no se conoce la primitiva. Suelen ser rápidos y sencillos de programar, siendo este su punto fuerte. A pesar de ser aproximaciones, dado que pueden calcularse hasta obtener la precisión deseada, proporcionan resultados perfectamente válidos para la mayoría de situaciones.
Encontramos así aplicaciones de los métodos numéricos en los ámbitos más diversos desde sectores tecnológicos tan clásicos como la ingeniería estructural o la aerodinámica de aviones, hasta aplicaciones más sofisticadas como ingeniería de alimentos, ingeniería médica, diseño de fármacos, biología, construcción o diseño de estructuras. En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodos numéricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, por ejemplo, modelar el cálculo de vigas o diseñas grandes urbanizaciones con cargas diferentes, permite calcular el porcentaje de error.
2. ¿QUE ES UN MÉTODO NUMÉRICO?
Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo.
3 APROXIMACIÓN DE ERRORES
Exactitud : se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación.
Se refiere a qué tan cerca está un valor medido del valor real.
Precisión : se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella.
Incertidumbre: Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.
Serie de Taylor : Una serie de Taylor es una representación o una aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto. La serie de Taylor de una función real f (x) infinitamente diferenciable, definida en un intervalo abierto (a - r, a + r), es la serie de potencias.
ejemplo:
Sesgo: Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática. Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular.
Cifras Significativas:Se define como aquella que aporta información no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida experimental, son cifras significativas de un numero vienen determinadas por su error. Son cifras que ocupan una posición igual o superior al orden o posición de error.
Notación Científica: La notación científica es una abreviación matemática, basada en la idea de que es más fácil leer un exponente que contar muchos ceros en un número. Números muy grandes o muy pequeños necesitan menos espacio cuando son escritos en notación científica porque los valores de posición están expresados como potencias de 10. Cálculos con números largos son más fáciles de hacer cuando se usa notación científica.
3. CONCEPTOS BÁSICOS
Algoritmos: Son un conjunto de operaciones que se utilizan para resolver problemas específicos. En estas instrucciones se indica la secuencia de operaciones que se deben realizar para que partiendo de los datos de entada se pueda obtener el resultado buscado. Los algoritmos es utilizado en el mundo de la ciencia para la resolución metódica de problemas. Los algoritmos no siempre están escritos de una forma que conduce al programa mas efectivo en términos de requisitos de tiempo o almacenamiento.
Aproximaciones : Aproximar un numero ciertas cifras decimales consiste en encontrar un numero con las cifras pedidas que este muy próximo al numero dado.
En la aproximación por defecto se busca el numero con un determinado numero de cifras que es menor que el dado.
La aproximación por exceso es cuando el numero con las cifras decimales fijadas es inmediatamente mayor al numero dado.
4. TIPOS DE ERRORES
Error: Es la relación entre el número exacto y el obtenido por aproximación se define como:
Error = Valor real -valor estimado
Errores de redondeo: En este caso, el error aparece al operar con representaciones numéricas finitas. Se puede solucionar utilizando más decimales, pero esto conlleva utilizar más memoria (recursos).
En una computadora existe una longitud de palabra que puede representar y sólo puede representar un número finito de términos. Para expresar una cantidad con un desarrollo decimal infinito, se tiene que prescindir de la mayoría de ellos. Por ejemplo, el número π = 3.14159265...., tiene un desarrollo decimal infinito no periódico.
Para el redondeo la regla es aproximar al valor superior si el siguiente dígito es mayor o igual a 5
Ej. redondear π = 3.14159265... a la centésima: 3.14 y a la milésima: 3.142
Errores de truncamiento (o discretización): Este tipo de error se refiere al error que se comete al utilizar un algoritmo determinado. Esto quiere decir que si se refina la discretización o se cambia el algoritmo, puede disminuir. Refinar la discretización generalmente lleva a realizar más cuentas lo que equivale a incrementar el error de redondeo y el tiempo de cálculo.
Truncar es cortar y si truncamos π = 3.14159265... a la centésima: 3.14 y a la milésima: 3.141
Error absoluto :
Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como:
EA = | P* - P |
Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
Y el error relativo como
ER = | P* - P| / P , si P =/ 0
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:
ERP = ER x 100
Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.
En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteracciones que otro, para acercarse al valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.
Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario divergen; es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado.
En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro, entonces se dice que tiene una mayor estabilidad.
OCTAVE:Octave es software libre y actualmente dispone de una interfaz de usuario hecha en QT y muy amigable. Para el trazado de gráficos emplea la herramienta GNUplot, también libre y de calidad en la generación de gráficas científicas.
Es un programa multiplataforma ya que corre bajo Windows, Linux y MacOS entre otros. Se maneja por línea de comando, aunque existen numerosas GUI's1, como qtOctave (Ubuntu).
Existen dos maneras de trabajar con Octave: de forma directa, ingresando comandos por la línea de comandos,o bien generando un script. Un script es un archivo de texto plano que contiene una serie de instrucciones que Octave puede interpretar y ejecutar, de extensión .m. Lo más usual es trabajar con scripts.
Máxima: Maxima es un sistema para la manipulación de expresiones simbólicas y numéricas, incluyendo diferenciación, integración, expansión en series de Taylor, transformadas de Laplace, ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices y tensores. Maxima produce resultados de alta precisión usando fracciones exactas, números enteros de precisión arbitraria y números de coma flotante con precisión variable. Adicionalmente puede graficar funciones y datos en dos y tres dimensiones.
Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como:
EA = | P* - P |
Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
Y el error relativo como
ER = | P* - P| / P , si P =/ 0
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:
ERP = ER x 100
5. Convergencia:
Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.
En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteracciones que otro, para acercarse al valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.
Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario divergen; es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado.
En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro, entonces se dice que tiene una mayor estabilidad.
6. Sofware de Métodos Numéricos
El software numérico actual 20 ofrece un panorama muy prometedor, ya que además de la calidad en los programas y la búsqueda de conectividad entre los diferentes sistemas, también se busca estandarizar algunos aspectos de la semántica (ver por ejemplo la iniciativa del Numerical Mathematics Consortium [20]).
OCTAVE:Octave es software libre y actualmente dispone de una interfaz de usuario hecha en QT y muy amigable. Para el trazado de gráficos emplea la herramienta GNUplot, también libre y de calidad en la generación de gráficas científicas.
Es un programa multiplataforma ya que corre bajo Windows, Linux y MacOS entre otros. Se maneja por línea de comando, aunque existen numerosas GUI's1, como qtOctave (Ubuntu).
Existen dos maneras de trabajar con Octave: de forma directa, ingresando comandos por la línea de comandos,o bien generando un script. Un script es un archivo de texto plano que contiene una serie de instrucciones que Octave puede interpretar y ejecutar, de extensión .m. Lo más usual es trabajar con scripts.
INTEGRALAB
Es un software para integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales por métodos numéricos. Posee un ambiente que permite visualizar la gráfica de una función.
Based on Jim Harvey's speech structures
"20 Que incluye con frecuencia funcionalidad propia de los CAS (Computer Algebra Systems)."
Patran: Es un programa de ingeniería asistida por computadora (CAE) que proporciona una interfaz gráfica al pre- y posprocesado de modelos de elementos finitos y sus resultados. The MacNeal-Schwendler Corporation (MSC) es la empresa que lo comercializa.
Máxima: Maxima es un sistema para la manipulación de expresiones simbólicas y numéricas, incluyendo diferenciación, integración, expansión en series de Taylor, transformadas de Laplace, ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices y tensores. Maxima produce resultados de alta precisión usando fracciones exactas, números enteros de precisión arbitraria y números de coma flotante con precisión variable. Adicionalmente puede graficar funciones y datos en dos y tres dimensiones.
Comsol Multiphysics: Comsol es un software CAE para modelado, análisis y simulación de fenómenos físicos 3D en ingeniería, como problemas con fluidos, estructurales , térmicos , electromecánicos entre otros, que permite definir la geometría 3D especificando el mesh o malleado, cargas y la visualización previa del análisis para luego ejecutar el proceso y ver reportes finales.
7. CONCLUSIÓN
Los métodos numéricos quizás no tengan una importancia mayor dentro de las matemáticas pero su uso dentro de la ingeniería es de un grado que un ingeniero de cualquier hambito debe conocer conceptos básicos necesarios para poder desarrollarlos, a la vez de que debe contar con conocimiento en sistemas computacionales básicos para desarrollarlos con la ayuda de una maquina. Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensión de los principios científicos básicos.
BIBLIOGRAFIA:
-APUNTES DEL CURSO DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2018, PROFESORA LORENA ALONSO GUZMÁN
- STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P. CANALE, Métodos Numéricos para Ingenieros con Aplicaciones en Computadoras Personales, Edit. McGraw Hill, México, S.A de C.V., 1987.
- http://www.eumed.net/librosgratis/2009a/488/Que%20es%20un%20metodo%20numerico.htm
- https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-1/1-1-conceptos-basicos-algoritmos-y-aproximaciones
-http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100/14199/APUNTES%20DE%20M%C3%89TODOS%20NUM%C3%89RICOS.pdf?sequence=1
-https://sites.google.com/site/mecanalisis/home/unidad-i-introduccion-a-los-metodos-numericos
BIBLIOGRAFIA:
-APUNTES DEL CURSO DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2018, PROFESORA LORENA ALONSO GUZMÁN
- STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P. CANALE, Métodos Numéricos para Ingenieros con Aplicaciones en Computadoras Personales, Edit. McGraw Hill, México, S.A de C.V., 1987.
- http://www.eumed.net/librosgratis/2009a/488/Que%20es%20un%20metodo%20numerico.htm
- https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-1/1-1-conceptos-basicos-algoritmos-y-aproximaciones
-http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100/14199/APUNTES%20DE%20M%C3%89TODOS%20NUM%C3%89RICOS.pdf?sequence=1
-https://sites.google.com/site/mecanalisis/home/unidad-i-introduccion-a-los-metodos-numericos
