UNIDAD 4

UNIDAD 4

INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

Introducción

En esta competencia se abordarán los temas clásicos de integración definida y de evaluación de derivadas en algún punto, por medio de técnicas numéricas. Para ello se utilizarán procesos finitos, en los que -a diferencia de los métodos analíticos, donde el concepto de límite es central y por tanto los procesos infinitos- se manejan conjuntos de puntos discretos y haremos pasar por ellos o entre ellos un polinomio, para después integrar o derivar dicho polinomio.

La integración numérica es una herramienta esencial que se usa en la ciencia y en la ingeniería para obtener valores aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente. 

MÉTODOS: 

Métodos de Newton-Cotes

FORMULAS DE INTEGRACION DE NEWTON - COTES

Para estimar 𝐼 =  ∫a b 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, los métodos de Newton – Cotes funcionan en general en dos pasos: 

1. Se divide el intervalo [a, b] en n intervalos de igual amplitud, cuyos valores extremos son sucesivamente 

𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖 (𝑏−𝑎/ 𝑛) , 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 

Para quedar en la nueva notación 𝑥0 = 𝑎 y 𝑥𝑛 = 𝑏 

2. Se aproxima 𝑓(𝑥) por un polinomio de grado n; 𝑃𝑛(𝑥) y se integra para obtener la aproximación de I. 

Es evidente que se obtendrán valores diferentes de I para distintos valores de n, como se muestra a continuación.

MÉTODO TRAPEZOIDAL

En el caso de n = 1, el intervalo de integración [a, b] queda tal cual y 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑏; la
aproximación polinomial de f(x) es una línea recta (un polinomio de primer grado p(x)) y la
aproximación a la integral es el área de trapezoide bajo esta línea recta, como se ve en la
figura. Este método de integración se llama regla trapezoidal.

 MÉTODO TRAPEZOIDAL COMPUESTO

En vez de aproximar la integral de f(x) en [a, b] por una recta, conviene dividir [a, b] en n subintervalos y aproximar cada uno por un polinomio de primer grado.

ACTIVIDAD

a) Aproxime el área Al bajo la curva de la función dada por la tabla siguiente, en el

intervalo a = 500, b = 1800.

MÉTODO TRAPEZOIDAL COMPUESTO

En vez de aproximar la integral de f(x) en [a, b] por una recta, conviene dividir [a, b] en

n subintervalos y aproximar cada uno por un polinomio de primer grado.

Ejemplo: f (x) =x4-2x2+x+10

MÉTODO DE

SIMPSON

REGLA 1/3

Si n = 2; esto es, el intervalo de integración [a, b] se divide en dos subintervalos, se tendrán tres abscisas dadas por la ecuación 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖 (𝑏−𝑎/ 𝑛), como:

𝑥0 = 𝑎

𝑥1 = 𝑥0 + 1 (𝑏 − 𝑎/ 2) = 𝑎 + 𝑏/2 − 𝑎/2 = 1/2 (𝑏 − 𝑎)

𝑥2 = 𝑏 

Se aproxima f(x) con una parábola [un polinomio de segundo grado pix)], y la aproximación a la integral será el área bajo el segmento de parábola comprendida entre f(xo) y f(x2). Esto es:

∫a,𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ ℎ/3 ⦍𝑓 (𝑥0) + 4𝑓 (𝑥1) + 𝑓(𝑥2)⦎ 

REGLA 3/8

De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo:

𝐼 = ∫ 𝑎 𝑏 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 ≅ ∫ 𝑎 𝑏 𝑓3 (𝑥) 𝑑𝑥

Para obtener:

 𝐼 = 3ℎ 8 (𝑓 𝑥0 + 3𝑓 𝑥1 + 3𝑓 𝑥2 + 𝑓 𝑥3 , donde h=(b-a)/3. Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes.La regla 3/8 se expresa también en la forma de la ecuación.

Con la regla de Simpson 3/8 integre: 𝑓 𝑥 = 0.2 + 25𝑥 − 200𝑥2 + 675𝑥3 − 900𝑥4 + 400𝑥5, desde a= 0 hasta b= 0.8, con n=2 y n=3, este ejercicio está resuelto para n=3

Úsela junto con la regla de Simpson 1/3 con la finalidad de integrar la misma función en cinco segmentos.

Una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8 requiere cuatro puntos equidistantes 𝑥0 = f(0)=0.2

 𝑥1 = 𝑓 0.2667 = 1.432724

𝑥2 = 𝑓 0.5333 = 3.487177

𝑥3 = 𝑓 0.8 =0.232

CUADRATURA DE GAUSS

La cuadratura de Gauss propone una formula general en la que los puntos incluidos no son fijos como en las formulas de Newton – Cotes:

Una cuestión importante es que el método de Gauss puede extenderse a tres o más puntos; por ejemplo, si se escogen tres puntos no equidistantes en el segmento de la curva f(z) comprendida entre – 1 y 1, se podría pasar una parábola por los tres como en la regla de Simpson, excepto en que dichos puntos se escogería de modo que minimicen o anulen el error.

donde se han calculado los valores w¡ y z, en la tabla, la cual da valores hasta para seis puntos.

Formula de cuadratura de Gauss con dos puntos:

Esta simple formula es exacta si F es un polinomio de grado menor o igual a tres. Para otra f es una aproximación equivalente a sustituir f con un polinomio de grado tres.

 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

La derivada de una función tiene muchas aplicaciones, entre las cuáles esta la determinación de la velocidad instantánea de una partícula o móvil a partir de su función de posición. Este proceso es en ocasiones algo muy sencillo cuando se cuenta con dicha función, pero cuando se requiere solucionar el mismo problema con un conjunto de datos discretos y no con su función, el procedimiento no puede ser llevado de igual manera, es decir, el cálculo no nos da una solución directa, por lo tanto, se debe recurrir a otro tipo de análisis.

Nota: Esta fórmula, aunque sencilla no tiene un comportamiento estable, ya que para funciones lineales puede llegar a ser exacta, no siendo así para funciones más generales. Pero sin duda alguna, es un buen punto de partida para el calculo de la derivada de una función, además hay que considerar que en algunos casos es la única opción con que se cuenta.

LA TABLA A CONTINUACIÓN RESUME LAS FÓRMULAS PARA APROXIMACIÓN DE LAS DERIVADAS.

LA TABLA A CONTINUACIÓN RESUME LAS FÓRMULAS PARA APROXIMACIÓN DE LAS DERIVADAS.

SEGUNDA DERIVADA 

LA TABLA A CONTINUACIÓN RESUME LAS FÓRMULAS PARA APROXIMACIÓN DE LAS DERIVADAS

EJEMPLO: Aproximar la primera derivada de la función 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥, con todas las fórmulas que se encuentran en las tablas para un X0= 1.1 y h=0.1, use el hecho de que f’(1.1)=18.050, para el cálculo del error absoluto

Solución:

Se requieren los valores de:

𝑓(𝑥0), 𝑓 𝑥0 + ℎ 𝑦 𝑓 𝑥0 + 2ℎ

𝑓(𝑥0):𝑓 1.1 = 9.025

𝑓 𝑥0 + ℎ :𝑓 1.2 = 11.023

𝑓 𝑥0 + 2ℎ :𝑓 1.3 = 13.464

Usando las fórmulas de diferencias finitas progresivas:

BIBLIOGRAFÍA:

APUNTES DE METODOS NUMERICOS DE LA PROFESORA LORENA ALONSO GUZMÁN