UNIDAD 2

 ECUACIONES NO LINEALES

Un sistema de ecuaciones es no lineal si, por lo menos, una de sus ecuaciones no es lineal (hay un grado mayor que uno).

Estos sistemas se resolverán habitualmente por sustitución. Es recomendable dibujar las ecuaciones del sistema en la medida de lo posible para hacerse una idea aproximada de la situación de las soluciones, si las hay. 

Una ecuación no lineal la representaremos genéricamente en la forma f(x) = 0. Observe que lo anterior no quiere decir que la función f(x) sea la función idénticamente nula. Simplemente es una forma de representar la ecuación a la que nos enfrentemos. Más concretamente tras la expresión f(x) = 0.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan.

 Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.

 Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas lineales y cuadráticos con sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que estos ejemplos.

METODOS CERRADOS

Los métodos cerrados se caracterizan porque una función cambia de signo en un intervalo que encierra la raíz y porque para desarrollar el algoritmo donde se encuentra la raíz  necesita de dos valores iniciales (límite inferior y límite superior) entre los cuales se encuentra la misma. 

Los métodos cerrados se clasifican en:

Método de Bisección:

Este método plantea que si se cumple que:

 f(x) es real y continua en el intervalo que va desde un Xi  hasta un Xs 

f(Xi) f(Xs)<0

Si se cumple lo anterior, por lo menos existe una raíz dentro de este intervalo.

El procedimiento es el siguiente:

Se elige un intervalo inicial para función f(x) 

 Luego se busca localizar la raíz con mayor exactitud dentro del intervalo dividiendo a la mitad y observando si se conservan las condiciones iniciales.

Se compara el Xmed con cada uno de los límites del intervalo y se observa que producto cambia de signo y se asigna un nuevo intervalo.

 Se vuelve a repetir el proceso, y se va poniendo pequeño el intervalo hasta llegar a una aproximación de la raíz o la raíz exacta. 

Se trata de encontrar los ceros de:
f(x)=0

Donde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes.




De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p∈[a,b] tal que f(p)=0.
El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p.
El proceso se repite hasta la lograr la precisión deseada.

Primera iteración del algoritmo


Segunda iteración del algoritmo

Actividad 11

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

Haga funciones en Excel o Wxmaxima para encontrar la solución de las siguientes ecuaciones utilizando la función bisección.

1° interacción:

Iniciamos con valores: xl=1; xu=2

Formula: xr=(xl+xu)/2=(1+2)/2=1.5

Remplazamos el valor de xl en la función:

f(xl)=(1)^3+2(1)^2+10(1)-20=-7

Remplazamos el valor de xr en la función 

f(xr)=(1.5)^3+2(1.5)^2+10(1.5)-20=2.875

2° interacción 

Iniciamos con valores: xl=1; xu=1.5

Formula: xr=(xl+xu)/2=(1+1.5)/2=1.25

Remplazamos el valor de xl en la función:

f(xl)=(1)^3+2(1)^2+10(1)-20=-7

Remplazamos el valor de xr en la función 

f(xr)=(1.25)^3+2(1.25)+10(1.25)-20=-2.421

·         -Con estas dos interacciones calculamos el error con los valores de xr

Se repite el mismo procedimiento hasta llegar a un error menor del 0.05%

Nota: llegamos hasta la interacción 11 porque el error es menor que 0.05% 

1° interacción:

Iniciamos con valores: xl=0; xu=1

Formula: xr=(xl+xu)/2=(0+1)/2=0.57

Remplazamos el valor de xl en la función: f(xl)=e^0-(0)^2+3(0)-2=0.898

Remplazamos el valor de xr en la función 

f(xr)=e^0.5-(0.5)^2+3(0.5)-2=0.898

2° interacción:

Iniciamos con valores: xl=0; xu=0.5

Formula: xr=(xl+xu)/2=(0+0.5)/2=0.25

Remplazamos el valor de xl en la función:  f(xl)=e^0-(0)^2+3(0)-2=0.898

Remplazamos el valor de xr en la función

f(xr)=e^0.25-(0.25)^2+3(0.25)-2= 0.028

·         Con estas dos interacciones calculamos el error con los valores de xr

1° interacción:

Iniciamos con valores: xl=6; xu=7

Formula: xr=(xl+xu)/2=(6+7)/2=6.5

Remplazamos el valor de xl en la función: f(xl)=-0.5(6)^2+2.5(6)+4.5=1.5

Remplazamos el valor de xr en la función  f(xr)=-0.5(6〖.5)〗^2+2.5(6.5)+4.5=-0.375

2° interacción:

Iniciamos con valores: xl=6; xu=6.5 Formula: xr=(xl+xu)/2=(6+6.5)/2=6.25

Remplazamos el valor de xl en la función: f(xl)=-0.5(6)^2+2.5(6)+4.5=1.5

Remplazamos el valor de xr en la función  f(xr)=-0.5(6〖.25)〗^2+2.5(6.25)+4.5=0.593

Con estas dos interacciones calculamos el error con los valores de xr

Con estas dos interacciones calculamos el error con los valores de xr
Error=(valor actual-valor anterior)/(valor actual)=(6.25-6.5)/6.25=4
Se repite el mismo procedimiento hasta llegar a un error menor del 0.05%

Actividad 12

MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN

Resolver utilizando el método de la falsa posición:

 f(x)=x^3+2x^2+10x-20     con valores iniciales 1,2

1° interacción:

Iniciamos con valores: xl=1; xu=2

Remplazamos el valor de xl en la función:

f(xl)=(1)^3+2(1)^2+10(1)-20=-7

Remplazamos el valor de xu en la función:

f(xu)=(2)^3+2(2)^2+10(2)-20=16

Encontramos el valor de xr

Formula: xr=xu-f(xu)(xl-xu)/(f(xl)-f(xu) )=2-16(1-2)/(-7-16)=1.30434783

Remplazamos el valor de xr en la función 

f(xr)=(1.304)^3+2(1.304)^2+10(1.304)-20=-1.3347

Multiplicamos f(xl)∙f(xr) f(xl)∙f(xu)=-7(-1.30434) f(xl)∙f(xu)=9.3433

2° interacción:

Iniciamos con valores: xl=1.3043; xu=2

Remplazamos el valor de xl en la función:

f(xl)=(1〖.3043)〗^3+2(1.3043)^2+10(1.3043)-20=-1.3347

Remplazamos el valor de xu en la función:

f(xu)=(2)^3+2(2)^2+10(2)-20=16

Encontramos el valor de xr

Formula: xr=xu-f(xu)(xl-xu)/(f(xl)-f(xu) )=2-16(1.3043-2)/(-7-16)=1.3579

Remplazamos el valor de xr en la función 
f(xr)=(1.3579)^3+2(1.3579)^2+10(1.3579)-20=-0.2291

Multiplicamos f(xl)∙f(xr)
f(xl)∙f(xu)=(-13347)(-1.3347)
f(xl)∙f(xu)=0.3058

Con estas dos interacciones calculamos el error con los valores de xr 

Error=(valor actual(xr)-valor anterior(xr))/(valor actual(xr))=(1.3579-1.3043)/1.3579=3.9446

Se repite el mismo procedimiento hasta llegar a un error menor del 0.05%

1° interacción:

Iniciamos con valores: xl=0; xu=1

Remplazamos el valor de xl en la función:

f(xl)=e^0-(0)^2+3(0)-2=-1

Remplazamos el valor de xu en la función:

f(xu)=e^1-(1)^2+3(1)-2=2.7182

Encontramos el valor de xr

Formula: xr=xu-f(xu)(xl-xu)/(f(xl)-f(xu) )=1-2.7182(0-1)/(-1-2.7182)=0.268941

Remplazamos el valor de xr en la función 

f(xr)=e^0.268941-(0.268941)^2+3(0.268941)-2=0.043073

Multiplicamos f(xl)∙f(xr)

f(xl)∙f(xu)=-1(0.043073)

f(xl)∙f(xu)=-0.043073

2° interacción:

Iniciamos con valores: xl=0; xu=0.2689

Remplazamos el valor de xl en la función:

f(xl)=e^0-(0)^2+3(0)-2=-1

Remplazamos el valor de xu en la función:

f(xu)=e^0.2689-(0.2689)^2+3(0.2689)-2=0.0430

Encontramos el valor de xr

Formula: xr=xu-f(xu)(xl-xu)/(f(xl)-f(xu) )=0.2689-0.0430(0-0.2689)/(-1-0.043073)=0.2578

Remplazamos el valor de xr en la función 

f(xr)=e^0.2578-(0.2578)^2+3(0.2578)-2=0.0011

MÉTODO DE LA REGLA FALSA POSICIÓN 

Encontrar la intersección de una recta conformada por los puntos a y b con el eje x, y obtener nuevos intervalos mas pequeños, lo la cual  permite una  aproximación a una raíz.





Ejemplo: 

Determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m=68.1 kg  tenga una velocidad de v=40 m/s después de un caída libre de t=10 s.
Notas:
La aceleración de la gravedad es de 9.8  m/s^2.
Solución:
El primer paso del método de bisección consiste en asignar dos valores iniciales a la incógnita (en este problema, x) que den valores de f(x) con diferentes signos. Los valores vistos en la gráfica anterior son (xl)=12 y (xu)=16.    

Por lo tanto, la estimación inicial de la raíz x_r se encontrara en el punto medio del intervalo.





MÉTODOS ABIERTOS
Los métodos abiertos, a diferencia de los cerrados, calcula en cada iteración una aproximación a la raíz y se despreocupan de verificar si esta aproximación genera o no un intervalo que contenga una raíz.

Los métodos abiertos son:

Método de Punto Fijo
Método de Newton-Raphson
Método de la Secante


PUNTO FIJO


DEFINICIÓN:
También conocido como el método de iteración simple de punto fijo; o, iteración de un punto por sustitución sucesiva, en el cual se utiliza una fórmula o expresión matemática para predecir la raíz, la misma que puede desarrollarse por una iteración simple, de allí su denominación:

f(x)=g(x)

Despeja la variable de la función, en todas las formas posibles 
f(x)=(2x)^2-x-5
Sea la ecuación general   f(x)=(2x)^2-x-5
A) x=(2x)^2-5  “despejando el segundo término “
B) √((x+5)/2)    “despejando del primer termino
C) 5/(2x-1)  factorizando x y despejándola
D)(2x)^2-5 sumando x a cada lado 
Posteriormente, dado un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial (xl), del punto fijo xi de “g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)]. xn+1 = g(xn ). Entonces la ecuación anterior puede usarse para obtener una aproximación, para k=1, 2, 3,… hasta que convergen, y expresada por la formula iterativa xi+1= g(xi) que generalizando se tiene: xn+1 = g(xn ). Al realizar las aproximaciones iterativas, es posible establecer el error aproximado, para ello se calcula usando el error normalizado ( ) el mismo que se sintetiza con la expresión matemática:

• Puede apreciarse que la sucesión diverge con la g (x) del inciso a), y converge a la raíz 1.850781059 con la g (x) del inciso b).
• De lo anterior se puede concluir que cuando el método converge, el error es proporcional, y menor que la iteración anterior, por esto se dice que la iteración simple de punto fijo es linealmente convergente.

Método
Consiste en obtener una raíz, o solución, de una ecuación de la forma: f(x) = 0 ,la misma que debe ser transformada en una ecuación equivalente de punto fijo g(x), de tal forma que al reordenar la ecuación f(x)=0,“x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación de manera que se defina: x= g(x)
Si g es una función continua en [a,b] y g(x) ε[a,b] para todo “x” ε[a,b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a,b]. 

Método de iteración de punto fijo:
-Consiste en reordenar los términos de la función. 
-Se iguala a cero, para que la variable “x” quede a la izquierda. 
-x = g(x)   ;   x_i+1 = g(x_i). 
Existen dos técnicas:
*Despejando la variable “x”.
*Convergencia al punto fijo.

ACTIVIDAD 

Método de Newton Raphson

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n.

g(X) = X – (f(X)/f ‘ (x))

Una vez definida la función g, se debe realizar los siguientes pasos, como en el método de punto fijo.

 Se debe elegir una aproximación inicial Xo

 Se calcula X1=g(Xo)

Se calcula X2=g(X1)

..............   Xn=g(Xn-1)

Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximación de la raiz.

MÉTODO DE LA SECANTE

Buscar una raíz de una función a partir de dos valores iniciales, una tolerancia y un número de iteraciones, para este caso no es necesario tener un intervalo.
El método de la secante se define como una variante del método de Newton. A partir de la ecuación iterativa que define el método de Newton, se sustituye la derivada por una expresión que la aproxima:

X2 = X1 – ((f(X1)*(X1-Xo))/(f(X1)-f(Xo))

 Se debe elegir dos aproximaciones iniciales X1 y X0

 Se calcula X2= Expresión  ---------- Xn = Expresión (n-1)

 Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximación.

En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.



BIBLIOGRAFIA:

APUNTES DE MÉTODOS NUMÉRICOS DE LA PROFESORA LORENA ALONSO