UNIDAD 3

MATRICES Y SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

Suma o adición de matrices

Para sumar dos matrices A Y B han de ser de las mismas dimensiones; si esto es cierto, la suma es una matriz E de iguales dimensiones que A y que B, y sus elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de A y B.

Estas matrices se pudieron sumar porque, ambas son del mismo tamaño.

Actividad

Para obtener los elementos de una matriz C, se suman los elementos correspondientes de la matriz A y B es decir:

No se puede aplicar la suma en estas matrices ya que la magnitud de las mismas no cumple la regla establecida.

Producto de matrices por un escalar

Así como se ha definido la suma de matrices, también se puede formar el producto de un número real A y una matriz A, el resultado, denotado por A es la matriz cuyos elementos son los componentes de A multiplicados por A.

Si K=5 Y B=KA

Sea una matriz A de dimensión m.n y un escalar λ se puede definir al producto de una matriz A por el escalar para dar sentido a la operación A+A+A+…+A el producto se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz A por el escalar λ,λ_A y sus elementos.

Demuestre que A+A =2A

Multiplicación de matrices

Dos matrices A y B son conforme a ese orden (primero A y después B), si A tiene el mismo número de columnas que b tiene de filas.

ACTIVIDAD 2

Los tres hijos de un granjero Amy, Beth y Chad atienden tres puestos al lado de la carretera durante los meses del verano. Un fin de semana, todos venden sandias, calabaza amarilla y jitomates. Las matrices A y B tabulan la cantidad de libras de cada uno de los productos vendidos por cada uno de los hijos en el sábado y domingo.

La matriz C proporciona los precios por libra, en dólares de cada tipo de producto que venden:

Dada las siguientes matrices: efectué si es posible:

a) ABE

b )DB+DC

c) A^3

Vectores

Las matrices donde M>1 y N =1  (es decir, están formadas por una sola columna) son llamadas matrices columna o vectores , de igual manera, si M=1 y N>1, se tiene una ,matriz fila o vector, los vectores se denotaran con las letras minúsculas en negritas :B,X, etc, en estos casos no será necesario la utilización de doble subíndice para la identificación de sus elementos y un vector X de M elementos (en columna) queda simplemente como:

El producto escalar de dos vectores no es otro vector sino un número. Se

determina multiplicando las coordenadas de ambos vectores, componente a

componente y sumando los resultados. Por ejemplo:

(-3,2) x (5,1) = ((-3) x5) +(2x1) = -15+2 = -13

Propiedades de la suma de Vectores:

Conmutativa

A * b = b * a

Asociativa

(a + b) * c = a * (b + c)

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

GRAN NÚMERO DE PROBLEMAS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA SE REDUCE AL PROBLEMA DE RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. POR EJEMPLO, PUEDEN CITARSE LA SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES, LA APROXIMACIÓN POLINOMIAL, LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES, ENTRE OTROS .

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce al problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, pueden citarse la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, la aproximación polinomial, la solución de ecuaciones diferenciales parciales,entre otros.

CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA SEGÚN EL NÚMERO DE SOLUCIONES

•Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece

SISTEMAS EQUIVALENTES

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:

I.- Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.

II.- Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo.

III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras dos. 

Resolución de sistemas de ecuaciones

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.

Métodos de resolución:

1. Método de Gauss.

2. Método de Cramer.

3. Método de la matriz inversa.

ELIMINACIÓN DE GAUSS

Matrices inversibles. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.

-          Propiedades de la inversión de matrices

1.    La matriz inversa, si existe, es única.

Observación. Existen matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹ I, en tal caso, se dice que A es la inversa de B “por la izquierda” o que B es la inversa de A “por la derecha”.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS: MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener de un sistema:

Un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.

Se pueden dar los siguientes pasos:

I.             Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.

II.     Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.

III.          Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).

IV.          El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.

REGLA DE CRAMER

Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fracción de dos determinantes con denominador d y con el numerador obtenido a partir de d, al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes b₁, …b₂,…, b_n. por ejemplo, x₁ se calcula como:

DETERMINANTES

Solución de un sistema de 3x3

La matriz del sistema es:

DESCOMPOSICIÓN LU

RECORDEMOS, QUE UNA MATRIZ REGULAR A, ADMITE UNA FACTORIZACIÓN DE LA FORMA

PA=LU

DONDE P ES UNA MATRIZ DE PERMUTACIÓN DE FILAS, L ES UNA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Y U ES UNA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR. Y SEA EL SISTEMA DE ECUACIONES [A][X]=[B] AUNQUE LA ELIMINACIÓN GAUSS REPRESENTA UNA FORMA SATISFACTORIA PARA RESOLVER TALES SISTEMAS,

RESULTA INEFICIENTE CUANDO DEBEN RESOLVERSE ECUACIONES CON LOS MISMOS COEFICIENTES [A], PERO CON DIFERENTES CONSTANTES DEL LADO DERECHO (LAS B). LOS MÉTODOS DE DESCOMPOSICIÓN LU SEPARAN EL TIEMPO USADO EN LAS ELIMINACIONES PARA LA MATRIZ [A] DE LAS MANIPULACIONES EN EL LADO DERECHO {B}. UNA VEZ QUE [A] SE HA “DESCOMPUESTO”, LOS MÚLTIPLES VECTORES DEL LADO DERECHO {B} SE PUEDEN EVALUAR DE MANERA EFICIENTE.

UNA ESTRATEGIA DE DOS PASOS

1. PASO DE DESCOMPOSICIÓN LU. [A] SE FACTORIZA O “DESCOMPONE” EN LAS MATRICES TRIANGULARES INFERIOR [L] Y SUPERIOR [U].

2. PASO DE LA SUSTITUCIÓN. [L] Y [U] SE USAN PARA DETERMINAR UNA SOLUCIÓN {X} PARA UN LADO DERECHO {B}. ESTE PASO, A SU VEZ, SE DIVIDE EN DOS. PRIMERO, LA ECUACIÓN [L][D]=[B], SE USA PARA GENERAR UN VECTOR INTERMEDIO {D} MEDIANTE SUSTITUCIÓN HACIA ADELANTE. DESPUÉS, EL RESULTADO SE SUSTITUYE EN LA ECUACIÓN[L][X]-[D]=0, LA QUE SE RESUELVE POR SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS PARA {X}.

BIBLIOGRAFIA:

APUNTES DE MÉTODOS NUMÉRICOS DE LA PROFESORA LORENA ALONSO